[PDM]Aljabar Proposisi

Aljabar Proposisi

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

Setiap proposisi yang saling ekuivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Dibawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi,

1. Hukum Idempoten (Idem)

a.       p∨q ek p                           b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

a.       (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

b.      (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

a.       p∨q ek q∨p

b.      p∧q ek q∧p

4. Hukum Distributif (Dist)

a.       p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

b.      p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

5. Hukum identitas (Id)

a.       p∨F ek p

b.      p∨B ek B

c.       p∧S ek S

d.      p∧T ek p

6. Hukum Komplemen (Komp)

a.       p∨∼p ek B

b.      p∧∼p ek S

c.       ∼(∼p) ek p

d.      ∼B ek S

7. Hukum Transposisi

p⇒q ek ∼q⇒∼p

8.Hukum Implikasi (Imp)

p⇒q ek ∼p∨q

9.Hukum Ekivalensi (Eki)

a.       p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

b.      p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

10.Hukum Eksportasi (Eks)

(p∧q) ⇒r ek p⇒(q⇒r)

11.Hukum De Morgan

a.       ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

b.       ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

[PDM]Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Operasi Logika Matematika

Pernyataan		Negasi Pernyataan		Disjungsi	Konjungsi	Implikasi	Biimplikasi
p	Q	~p	~q	p v q	p ^ q	p → q	p ↔ q
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S	S	S
S	B	B	S	B	S	B	S
S	S	B	B	S	S	B	B

Definisi masing-masing nilai kebenaran operasi logika matematika:

• Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah.
• Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
• p v q benar, jika salah satu di antara p dan q benar atau p dan q dua-duanya benar.
• p v q salah, jika p dan q dua-duanya salah.
• p ^ q benar, jika p benar dan q benar.
• p ^ q salah, jika salah satu p atau q salah atau p salah dan q salah.
• p → q salah, jika p benar dan q salah.
• Dalam kemungkinan yang lainnya, p → q dinyatakan benar.
• p ↔ q benar, jika τ(p) = τ(q) (p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.).
• p ↔ q salah, jika τ(p) ≠ τ(q) (p dan q mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama.).

Tabel Kebenaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontrapositif

Pernyataan		Negasi Pernyataan		Implikasi	Konvers	__Invers__	Kontrapositif
p	Q	~p	~q	p → q	q → p	~p → ~q	~q → ~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan nilai kebenaran kontrapositifnya dan nilai kebenaran konvers sama dengan nilai kebenaran invers. Jadi, implikasi ekuivalen dengan kontrapositifnya dan konvers ekuivalen dengan invers. Secara notasi, dapat dituliskan sebagai berikut.

• (p → q) ≡ (~q → ~p)
• (q → p) ≡ (~p → ~q)

1.       Dipunyai teorema

Jika kuadrat suatu bilangan itu genap maka bilangan tersebut adalah genap (*)

Jawab:

 jelas teorema (*) berbentuk implikasi,a² genap ⇒ a genap. Kontraposisi dari implikasi teorema (*) adalah a ganjil ⇒ a2 ganjil.

Dipunyai a ganjil maka a=2k-1 untuk semua  k anggota N( bil nyata)

Akan ditunjukkan a²ganjil

Jelas

a=2k-1

a²=(2k-1)²

    =4k²-4k+1=4k²-4k+2-1

    =2(2k²-2k+1)-1

= 2m-1 untuk semua m=2k²-2k+1 anggota N

Jelas 2k²-2k+1 anggota N karena k anggota N

Jadi a²ganjil,jadi a²genap ⇒ a genap

[PDM]Operasi Logika

Operasi logika ada 5 macam yaitu:

            a.        Ingkaran

                        ·          Ingkaran (negasi) adalah suatu pernyataan baru yang merupakan ingkaran dari pernyataan semula, bernilai benar jika pernyatan semula salah dan salah jika pernyataan semula benar.

                                    Tabel Kebenaran :

                                   

P	~p
B	S
S	B

                        ·          Ingkaran p ditulis ~ p dan dibaca tidak benar p atau bukan p.

                                    Kata “tidak benar” ditambahkan di depan pernyataan p dan kata “bukan” atau “tidak “ disisipkan di dalam pernyataan p

      

b.        Konjungsi

            Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan” ditulis dengan simbol “∧”.

            p Ù q dibaca p dan q ekivalen dengan :

(1)          p tetapi q

(2)          p padahal q

(3)          p meskipun q

Tabel Kebenaran

p	q	p∧ q
B B S S	B S B S	B S S B

Argumen dan Penarikan Kesimpulan

Argumen
Argumen merupakan serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan. Argumen terdiri dari pernyataan-pernyataan yang terbagi atas dua kelompok, yakni kelompok pernyataan sebelum kata “jadi”, yang disebut premis-premis, dan kelompok lain yang hanya terdiri atas satu pernyataan dinamakan konklusi. (Kusumah, 1986)

Contoh argumen:

Jika Opan seorang insinyur, maka Opan bisa memperbaiki mesin.

Opan seorang insinyur.

Jadi, Opan bisa memperbaiki mesin.

Kalimat (pernyataan) yang berwarna biru disebut sebagai premis, sedangkan kalimat yang berwarna merah disebut sebagai konlusi. Argumen di atas bisa juga dinyatak
an dalam bentuk simbol-simbol seperti di bawah ini.

s: Opan seorang insinyur
m: Opan bisa memperbaiki mesin

s → m

s

Jadi, m

Proposisi Komposit

       Proposisi majemuk (proposisi komposit) adalah Kombinasi pernyataan 1 dengan pernyataan 2 dan proposisi yang memuat perangkai. Ada lima perangkai, yaitu:

1. "dan" diberi simbol khusus "∧" 
2. "atau" diberi simbol khusus "∨"
3. "tidaklah" diberi simbol khusus "~"
4. "jika...maka..." diberi simbol khusus "⇒"
5. "jika dan hanya jika" diberi simbol khusus "⇔"